|
這是一本最美麗的數學書！
換個方式認識幾何，你會讚嘆大自然的智慧與設計
-------------------------------------------------
石榴石晶體是美麗的菱形十二面體，
松果與蘇鐵的錐體上帶有神祕雙螺旋，
葉子、蘭花、蝴蝶及人類身上都找得到兩側對稱性，
在大自然的一草一物中發現幾何，探索各種不同的形式
華德福式自然學習法，超過500幅彩色照片與圖表
本書以「射影幾何學」作為「看見」自然中的數學之工具，是同一類型數學普及書籍中的罕見之作。
――台灣師範大學數學系退休教授洪萬生
科學是概念世界與現象世界的交織，這正是本書採取的認知模型，出發點則是幾何學。
作者約翰．布雷克伍德曾任教於華德福教育體系，藉由細膩的觀察和巧妙的作圖，
橫跨礦物界、植物界、動物界到人類世界，向讀者展示了大自然中繽紛絢爛的樣貌，
探究這些多樣性是否正確反映出基本的幾何形式。
書中主要運用射影幾何學（projective geometry），不同於歐幾里得幾何學，
它不依賴測量；測量和形式會從射影幾何的簡單變換中出現。
主題包括︰笛沙格定理、幾何元素、對稱性、賦向、螺線、四面體、路徑曲線、
三維射影幾何等。
對教師和家長而言，讓孩子從生活環境中學習更勝於填鴨教學。
對學生而言，幾何可以不只是數學難題，而是探索與理解自然的方式。
序
第一章 導論
1.1 機械中的思維
1.2 大自然的形式
1.3 自然界的方向
第二章 笛沙格和影子
2.1 笛沙格三角形定理
2.2 一系列的三角形
2.3 變異和特殊情形
2.4 兩側對稱
2.5 平移對稱
2.6 旋轉對稱
2.7 對偶與配極
第三章 幾何元素和它們的形態
3.1 平面元素
3.2 直線元素
3.3 點元素
3.4元素的相互依賴
第四章 大自然中的對稱
4.1植物中的兩側對稱
4.2礦物中的兩側對稱
4.3動物和人類中的兩側對稱
4.4大自然中的旋轉對稱及其形式
4.5花形中的旋轉
4.6旋轉與兩側對稱的結合
4.7大自然中的平移對稱
4.8 中心、外圍與兩種度量
4.9兩種二維性
第五章 不對稱的旋轉
5.1 不對稱的葉子
5.2 不對稱的花
5.2 浩瀚宇宙
第六章 直線的方向
6.1 礦物領域
6.2 植物界
6. 3 動物界
6.4 挺直的地球主人
6.5 結語
第七章 直線的測度
7.1 直線上的變換
7.2 成長測度
7.3 環繞測度與階段測度
7.4 包含一直線的平面
第八章 自然界的螺線
8.1 阿基米德螺線
8.2 等角或對數螺線
8.3 一般螺線
8.4 正則等角螺線
8.5 平面上的大自然螺線
8.6 一點上的二維性
8.7 一點上的自然螺線
第九章 三維的射影幾何
9.1 最簡單的三維形式
9.2 空氣漩渦與水漩渦
9.3 實四面體與正四面體
9.4 極端退化四面體
第十章 凸路徑曲線
10.1 一般的實三角形
10.2 一點在無窮遠處的實三角形
10.3 半虛三角形或複三角形
10.4 芽苞
10.5 蛋形
10.6 樹的邊界線
10.7 海膽
第十一章 凹路徑曲線
11.1 草樹和棕櫚葉
11.2 凹與凸的相互作用
第十二章 礦物界的形式
12.1 全實四面體的場域
12.2 無限大的全實四面體
12.3晶體結構
第十三章 植物界的形式
13.1半虛四面體
13.2 λ、ε和節點律動
13.3植物形態
13.4形態場
13.5 芽苞隨著時間的轉變
13.6蘇鐵葉的變換
第十四章 動物界的形式
14.1 蛋的螺線
14.2魚類
14.3 魚類形式的四面體
14.4 鱗片模式
14.5 生命的形式
第十五章 結論
15.1人類領域的幾何學
15.2不同領域的幾何學概述
15.3智能設計？
審訂序
既古典又現代的射影幾何學 洪萬生
在有關「幾何與藝術」或者「數學與大自然」之類主題的數學普及讀物之中，歐氏幾何學
通常是科普作家所掌握的主要工具。藉由這種幾何（國中數學課程的主要內容），作家在說明
藝術作品或大自然的美妙模式時，大概已經綽綽有餘，更何況這些作品所訴求的對象，無非是
擁有國中數學素養的讀者。
當商周編輯諮詢本書
Geometry in Nature: Exploring the Morphology of theNatural World through Projective Geometry是否值得出版（中譯本）時，由於我們幾位夥伴曾經合作中譯同一作者（布雷克伍德）的
《數學也可以這樣學》（Mathematics in Nature, Space and Time），因此，我稍事瀏覽原著
之後，即建議商周中譯本書。沒想到當時主要憑著直覺的推薦，後來竟然有著「無心插柳」的效果。
原來本書作者雖然出身工程，數學並非其大學主修專業，然而，他卻頗有膽識地使用射影
幾何學，作為解說大自然美妙模式（pattern）的一個主要的工具。這門學問對於許多主修數學
的讀者來說，可能稍感陌生，因為它早已經從大學數學系的（初級）課程中絕跡（目前，大概只
有台灣師大數學系的「高等幾何」課程，還可以看到它的藏身之所）。因此，要不是作者注意到
它所引伸的射影不變性（projective invariant）在吾人探索大自然的形態學（morphology）中
的關鍵角色，我們根本無從發現：一個源自西方文藝復興時期繪畫透視學的幾何學，竟然可以發揮
如此優雅的現代「應用」意義。
另一方面，為了審訂本書中譯稿，我還特別參考射影幾何學的專書。其中，對於我最有
啟發的，莫過於Jurgen Richter-Gebert所著的《射影幾何學中的透視》
（Perspectives on Projective Geometry）。他在計算機上「表現」幾何物件的結構時，
也發現「古典的」射影幾何學十分有用。事實上，在《跟大自然學幾何》中作者言而不宣的
幾何奧妙，都可以在《射影幾何學中的透視》一書中，找到相當淺近的對應解說。
總之，數學這種既古典又現代的面向，在射影幾何學上表露無遺，本書《跟大自然學幾何》
的作者手繪插圖及解說，也為我們提供了最具體的見證！無論你只是欣賞令人驚奇的圖片，
或是有意深入理解蘊含的射影幾何，本書都是同類書籍中的上上之選，請千萬不要錯過。
本文作者為台灣師範大學數學系退休教授
|
